Polowanie na kaczki

Zasady gry:

Gra matematyczna polega na odczytywaniu położenia kaczki i wpisywania go tak (jako współrzędne x i y), by czerwony celownik najechał na nią. Gra toczy się, aż zawodnik zdobędzie 10 punktów.

Za każde trafienie otrzymuje się jeden punkt, a za pudło tyle samo traci. Jeśli trafi się idealnie w kaczkę, to dostaje się od razu dziesięć punktów - warto być dokładnym ;).

Zagraj:

Zagraj w "20"

Zasady gry:

W grze uczestniczy dwóch graczy. Wybierają między sobą, kto ma zaczynać, a następnie na przemian dodają do liczby w puli 1 lub 2 (na początku pula wynosi 0). Wygrywa ten, który pierwszy osiągnie 20.

Zagraj: (gra może się chwilę ładować)

Ciekawostka: 

Istnieje strategia, która pozwala na wygranie każdej gry z przeciwnikiem, który jej nie zna. Czy potrafisz ją opisać?

Liczba PI w Internecie

W Internecie można znaleźć ciekawe serwisy WWW, w których liczba pi gra rolę pierwszoplanową (o liczbie pi przeczytasz tutaj). Chciałbym je zaprezentować i krótko opisać na poniższym zestawieniu.

Serwisy te to:

• PI-Search - wyszukiwarka przeszukująca pierwsze cztery miliardy cyfr rozwinięcia dziesiętnego PI. Dzięki niej dowiedziałem się, że dzisiejsza data, czyli ciąg liczb 28102010. Nie pojawia się w pierwszych czterech miliardach po przecinku. Z kolei rok bitwy pod Grunwaldem - 1410 - pojawia się na 566 638 140 po przecinku.
• pi10k -za pomocą serwisu można odegrać pierwsze 10 000 cyfr liczby pi. Wystarczy przypisać odpowiednim cyfrom wybrane przez nas nutki.

Dziwny zegar ścienny - odcinek 2

Niedawno temu opisałem w serwisie bardzo dziwny zegar ścienny, który miałem okazję zobaczyć. Zegar zawierał dość znaczący błąd, którego (jak wynika z moich pseudo-badań) nikt nie zauważa, o ile się o to go nie poprosi (chociaż i wtedy ciężko). Nie minęło kilka dni, a przechadzając się po pewnym hipermarkecie natknąłem się na inny czasomierz. Jego zdjęcie można obejrzeć powyżej (klikając - można powiększyć). Na jego tarczy znajduje się dziwny zapis czwórki. Czy twórca popełnił błąd, czy nie?

Dziwny zegar ścienny

Zagadka. Co jest nie tak na zegarze umieszczonym na powyższym zdjęciu? Odpowiedź poniżej.

Rysowanie planu domu - Sweet Home 3D

Sweet Home 3D jest bardzo interesującym programem, za pomocą którego możesz stworzyć plan swojego domu, czy też innego budynku. Proces tworzenia jest czystą przyjemnością. Wystarczy znać wymiary pomieszczeń. Razem z dwuwymiarowym planem, automatycznie będzie się tworzył trójwymiarowy. Do stworzonych pomieszczeń możemy dodawać meble (z biblioteki programu lub z Internetu). Program może być ciekawym urozmaiceniem lekcji techniki, matematyki, czy kółka informatycznego. 

Program został stworzony w Javie, więc działa na każdym systemie operacyjnym. Aplikacja jest spolonizowana i całkowicie darmowa. Sweet Home 3D można pobrać z tej strony.

Źródło: Ubucentrum.net

Która figura o danym obwodzie ma największe pole?

Problem: Która z figur płaskich o określonym obwodzie posiada największe pole?

Choć od dawna wiadomo było, że szukaną figurą jest koło, to w XIX wieku Karl Weierstrass przeprowadził w pełni zadowalający matematycznie dowód. Przyznam, że jest on mocno skomplikowany.

Nawiasem mówiąc, problem ten poruszono i rozwikłano w... "Eneidzie" Wergiliusza. Jedna z bohaterek miała otrzymać od wodzów plemion nubijskich kawałek ziemi, by się na nim osiedlić. Taki kawałek, który dałby się objąć jedną skórą wołu. W odpowiedzi na skąpstwo Nubijczyków, sprytna bohaterka pocięła skórę wołu na cienkie paski i ułożyła z nich koło. Później, podobno, na tym kawałku ziemi zbudowano Kartaginę.

Dla ciekawskich:
Można w prosty sposób, stosując wiedzę przeciętnego gimnazjalisty, spróbować pokazać, że to właśnie koło, ze wszystkich figur płaskich o tym samym obwodzie, ma największe pole.

Ustalmy: Nasza figura płaska ma obwód 24 cm.
Rozpatrzmy kilka przypadków:

• prostokąt o wymiarach 1 cm x 11 cm,
• prostokąt o wymiarach 4 cm x 8 cm,
• kwadrat o boku długości 6 cm,
• trójkąt równoboczny o boku długości 8 cm,
• sześciokąt foremny o boku 4 cm,
• ośmiokąt foremny o boku 3 cm,
• koło o obwodzie 24 cm.

Obliczmy pola tych figur.

(...)teraz inwencja twórcza czytelnika(...)

Po przeprowadzeniu niezbyt skomplikowanych rachunków i porównaniu otrzymanych wyników okaże się, że to właśnie koło ma największe pole.

Ball Balance

W poniższym poście zamieszczona jest bardzo ciekawa gra, która kształtuje szybkie myślenie strategiczne. Polega ona na takim dodawaniu kul na wagę, by któraś jej strona nie dotknęła ziemi. Do dyspozycji dostajemy kulki o różnych wagach i kolorach. Gdy w pobliżu siebie ustawimy trzy kulki jednakowego koloru, to znikną.

Życzę powodzenia i zachęcam do spróbowania swoich sił.

Czym jest trójkąt sferyczny?

Trójkątem sferycznym nazywamy figurę przestrzenną, powstałą z trzech łuków kół wielkich (czyli takich okręgów, które tworzą sferę) na sferze. Można powiedzieć, że te trzy koła wielkie wycinają fragment sfery, którym właśnie jest trójkąt sferyczny. Został on przedstawiony na rysunku po prawej stronie (przypominam, że należy patrzeć na nią trójwymiarowo).

Właściwości trójkąta sferycznego

suma długości dwóch boków jest większa niż długość trzeciego

suma miar kątów figury wynosi od 180o do 540o

obwód trójkąta nie może być większy niż obwód sfery (2πR)

naprzeciw równych kątów leżą równe boki

naprzeciw większego boku leży większy kąt (analogicznie z mniejszymi)

pole powierzchni tej figury nie może być większe niż suma pól dwóch kół wielkich (2πR2)

W trójkącie sferycznym istnieje pojęcie nadmiaru sferycznego (ekscesu sferycznego). Jest to nadwyżka sumy miar wszystkich kątów ponad 180^o(czyli sumę miar kątów w zwykłym trójkącie). Jeśli oznaczymy ją przez x, to x=A+B+C-180^o.

Pole trójkąta sferycznego można wyrazić wzorem:  R²(A+B+C-π) , gdzie A,B i C są miarami kątów przy odpowiednich wierzchołkach.

Czym jest Odwrotna Notacja Polska?

Definicja:
Odwrotna notacja polska - ONP, notacja polska (reverse Polish notation), system notacji beznawiasowej umożliwiający zapisywanie wyrażeń w ten sposób, że argumenty operacji poprzedzają operatory (notacja przyrostkowa).

Notacja ta, wprowadzona do logiki przez Jana Łukasiewicza, okazała się niezwykle przydatna do realizacji translatorów, które budują na stosie reprezentację tłumaczonych wyrażeń w ONP.

Przykład:
Wyrażenie (a+b) /c*(d- e) przełożone na ONP przyjmuje postać: ab+c/de-*.

Generując kod przekładu lub interpretując tak przełożone wyrażenie, translator ma uproszczone zadanie: zdejmuje kolejne elementy ze stosu i po napotkaniu operatora wykonuje działanie na dopiero co pobranych argumentach, kładąc wynik działania z powrotem na stos.

Hasło opracowano na podstawie “Słownika Encyklopedycznego – Informatyka”
Wydawnictwa Europa. Autor – Zdzisław Płoski.
ISBN 83-87977-16-0. Rok wydania 1999.

Inaczej:
Notacja infiksowa to notacja, którą posługujemy się na co dzień. Składa się ona z dwóch operand (liczb, zmiennych) oraz operatora, który znajduje się między nimi np: 2+4 albo x*7 itd. W tak zapisanym wyrażeniu ważny jest priorytet operatora a nie jego kolejność. Oto priorytety w notacji infiksowej:

1. Nawias,
2. Dodawanie i odejmowanie,
3. Mnożenie i dzielenie.

W Odwrotnej Notacji Polskiej jest inaczej. Nie jest ważny priorytet operatora, a jego kolejność. Jest to bardzo przydatne w realizacji translatorów, które zdejmują kolejne operatory ze stosu, wykonują operacje i wynik odkładają na stosie. 2+4 w ONP wygląda następująco: +2 4. Widać, że operator poprzedza operandy.

Uwaga! Zrozumienie algorytmu wymaga zapoznania się ze strukturą stosu.

Sposób zamiany wyrażenia zapisanego w notacji infiksowej na ONP

Czytamy wyrażenie od lewej strony i jeżeli natrafimy w nim na:

• liczbę lub zmienną – wypisujemy ją na wyjściu,
• nawias otwierający – kładziemy go na stosie,
• operator – zdejmujemy ze stosu i wypisujemy na wyjściu wszystkie operatory priorytecie niemniejszym niż ten wczytany. Następnie kładziemy wczytany operator na stosie,
• nawias zamykający – zdejmujemy ze stosu i wypisujemy na wyjściu wszystkie działania aż do napotkania nawiasu otwierającego, którego nie wypisujemy.

Artykuł przeniesiony ze strony Przemysława Szlagora

Czym są liczby zaprzyjaźnione?

Liczbami zaprzyjaźnionymi nazywamy dwie takie liczby naturalne, z których każda jest równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby, to każdy dzielnik od niej mniejszy). Były one już znane w szkole Pitagorasa, a więc około VI w. p. n. e. Starożytni Grecy nosili amulety, na których owe liczby były wygrawerowane. Wierzyli bowiem, że zapewni im to szczęście w miłości.

Przykładem pary dwóch najmniejszych liczby zaprzyjaźnionych są 220 i 284. Wystarczy spojrzeć na poniższą tabelkę, by zobaczyć wyjaśnienie tezy.

Liczba	Dzielniki	Suma dzielników
220	1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110	1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
284	1, 2, 4, 71, 142	1+2+4+71+142=220

Inną parą liczb zaprzyjaźnionych jest para liczby 1184 i 1210.

Póki co, odkryto około 8000 par liczb zaprzyjaźnionych. Nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończona ilość.

Czym jest liczba doskonała?

Pojęciem liczby doskonałej określamy każdą liczbę naturalną, która jest równa sumie swoich dzielników (a więc takich liczb naturalnych, które pomnożone przez inną naturalną dadzą liczbę wyjściową) mniejszych od niej samej. Szóstka przykładowo jest liczbą doskonałą. Jej dzielniki to 1, 2, 3, a ich suma (1 + 2 + 3) jest równa 6.

Starożytni matematycy odkryli cztery takie liczby: 6, 28, 496 i 8128. Piątą znalazł niemiecki matematyk Regiomontanus - 33550336. Jego rodak znalazł szóstą i siódmą, a Euler ósmą. Ma ona dziewięć cyfr. Do dziś odkryto 39 liczb doskonałych.

Czym są liczby bliźniacze?

Liczby bliźniacze, to takie liczby pierwsze, które różnią się o 2.

Przykłady: 3 i 5, 11 i 13, 17 i 19.

Największe znane dziś liczby bliźniacze to:  16869987339975*2¹⁷¹⁹⁶⁰ + i 1 16869987339975*2¹⁷¹⁹⁶⁰ - 1.

Do dziś niewiadomo, czy liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele. Wiadomo natomiast, że są one rozmieszczone bardzo rzadko (istnieją duże przerwy pomiędzy kolejnymi parami liczb bliźniaczych), jeśli jest ich nieskończenie wiele.

Ostatnimi cyframi liczb bliźniaczych mogą być: 1 i 3 (11 i 13), 7 i 9 (17 i 19) oraz 9 i 1 (29 i 31).

Czy zero jest liczbą naturalną?

By odpowiedzieć na postawione w poście pytanie, należy najpierw zaznajomić się z pewnym ważnym faktem. Mianowicie, w matematyce liczb naturalnych używa się w trzech kontekstach:

• przy określaniu kolejności - czyli jako liczby porządkowe,
• przy określaniu liczebności - czyli jako liczby kardynalne,
• jako przedmiot badań teorii liczb.

Gdy zbiór liczb naturalnych traktujemy jako zbiór uporządkowany, to obojętnym będzie czy będzie się on zaczynał od 0, 1, czy od dowolnej innej liczby należącej do zbioru.

Gdy liczb naturalnych będziemy używali do liczenia, to wskazanym jest, by zbiór ten zaczynał się od cyfry zero. W ten sposób zyskamy element neutralny, czyli taki, który nie wpływa na działania (3+0=3).

Kiedy natomiast zajmiemy się teorią liczb, to zero występuje w tym miejscu zazwyczaj jako wyjątek, w którym dane twierdzenie, bądź definicja nie zachodzi. Gdy umieścimy zero w zbiorze liczb naturalnych, to będziemy musieli dla niego dodać pewne założenia (np. że badamy liczby większe od zera).

Jaka jest różnica między kredytem a pożyczką?

Dla większości osób używa pojęcia kredytu i pożyczki jako synonimów. Uważają, że znaczą one to samo. Nic bardziej mylnego. Istnieje kilka różnic pomiędzy kredytem i pożyczką. Warto je znać, bo chodzi tu przecież o pieniądze.

Różnice między kredytem a pożyczką:

• kredytu mogą udzielać tylko banki, a pożyczkę osoba prywatna lub firma, która jest właścicielem tej puli,
• kredyt musi być sporządzony w formie pisemnej, a pożyczka dopiero wtedy, jeśli kwota przekracza 500 zł,
• kredyt musi być wykorzystany na ściśle określony cel (np. kupno lodówki), a pożyczka nie,
• przedmiotem kredytu mogą być tylko pieniądze, a pożyczki np. jakiś sprzęt,
• od udzielenia kredytu bank pobiera prowizję, a od jego wykorzystania nalicza oprocentowanie, natomiast udzielenie pożyczki może być nieodpłatne.

Jak zrobić zegar słoneczny?

Cień rzucany przez jakiś przedmiot przesuwa się wraz z ruchem źródła wysyłającego promienie światła. Wychodząc z tej obserwacji, ludzie nauczyli się odmierzać czas i zbudowali pierwsze zegary słoneczne. Skoro oni dali radę, to dlaczego my nie mamy? Oto kilka sposobów na zbudowanie zegara słonecznego.

Najprostsza konstrukcja:
Wbij patyk do ziemi (najlepiej w miejscu, do którego przez cały dzień dociera Słońce). Co godzinę kładź kamień w miejscu, na które pada cień.

Konstrukcja zaawansowana:
Materiały:

• sztywna tektura (25x25 cm),
• kartka białego papieru (25x25 cm), 
• taśma klejąca, klej, nożyczki,
• cyrkiel, kątomierz,
• ołówek, słomka plastikowa z harmonijką do wyginania,
• 2 spinacze biurowe.

Wykonanie:

1. Od spodu tektury, przyklej taśmą klejącą dwa spinacze (tak, by stworzyły rodzaj wieszaków).
   
2. Odwróć tekturę i przyklej na niej białą kartkę papieru. Narysuj cyrklem na kartce łuki o promieniu 10,5 cm i 12 cm.
   
3. Skróć słomkę, a jej końcówkę rozdziel na 3 części (jak na rysunku poniżej).
   
4. Przyklej rurkę do kartki. Przy pomocy kątomierza, ustaw rurkę pod kątem 45^o.
   
5. Zawieś konstrukcję tak, by była przodem do południa. Co godzinę zaznaczaj położenie cienia.
   
6. Zdejmij zegar i domaluj godziny. 

Artykuł został sporządzony z pomocą materiałów zawartych w "Encyklopedii Doświadczeń"
Wyd. Larousse, Wrocław 2006.

Czym jest liczba PI?

Pi jest pierwszą literą greckiego słowa perimetron (obwód). Liczba pi to nic innego, jak stosunek długości średnicy dowolnego okręgu do jego obwodu. Bez względu na rozmiary danej figury pi pozostaje zawsze taka sama. Jest ona liczbą niewymierną, a więc taką, której nie da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zwana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który  podał jej rozwinięcie z dokładnością 35 miejsc po przecinku.

Pierwsze źródła świadczące o użyciu liczby pi pochodzą ze starożytnego Babilonu. Naukowcy ustalili również, że stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi tyle, co przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku (3,1416). Nie wiadomo jednak, czy jest to kwestia przypadku, czy świadome działanie ówczesnych naukowców.

W większości zadań rozwiązywanych na lekcjach matematyki przybliża się ją jako 3,14.  Tę wartość jako pierwszy obliczył najprawdopodobniej Archimedesw III wieku naszej ery. Symbol π (pi) wprowadził jako pierwszy sir William Jones w książce "Synopsis Palmariorum Mathesos" w 1706 roku.

Można szybko nauczyć się liczby π z rozwinięciem do kilku miejsc po przecinku. Jak to zrobić? Spójrzmy na wiersz "Kuć i orać" Kazimierza Cwojdzińskiego.

"Kuć i orać
W dzień zawzięcie
Bo plonów niema bez trudu
Złocisty szczęścia okręcie
Kołyszesz...
Kuć.
My nie czekajmy cudu.
Robota
To potęga ludu."

Ile powyższy wiersz wspólnego z liczbą π? Spójrzmy na ilość liter w każdym wyrazie: 
Kuć - 3, i - 1, orać - 4, w - 1, dzień - 5, zawzięcie - 9, itd.
Składając je otrzymamy: 3,14159, a więc liczbę π z piątką cyfr po przecinku. Ucząc się tego wierszyka na pamięć będziemy potrafili podać jej przybliżenie do 23 miejsc po przecinku.

Więcej podonych tekstów znajduje się w rozszerzeniu artykułu.

"Inwokacja do Mnemozyny"
pi-emat Witolda Rybczyńskiego

"Daj, o pani, o boska Mnemozyno,
pi liczbę, którą też zowią ponętnie ludolfiną,
pamięci przekazać tak, by
jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć, gdy
się zadania nie da inaczej rozwiązać
pauza - to zastąpić liczbami"

Wiersz ułożony podczas zmagań sportowych na Mundialu w Argentynie

"Już i Lato i Deyna
strzelili do bramki obcej
dwa karne
Lubański dostrzegł mistrza Szarmacha
gdy on tak wypuścił cios szacha
że zdobyć musi cel gry
krzyknął Gol na Mundial Argentyna"

---

"Kto i bada i liczy,
Myśliciel to wielki.
Mylić się zwykł jednakże
Matematyk wszelki."

Jak działa nr konta bankowego

W artykule zostanie wyjaśniony metoda numeracji kont bankowych za pomocą systemu IBAN. Najpierw jednak krótkie wyjaśnienie - czym jest IBAN?

IBAN jest międzynarodowym standardem numeracji kont bankowych. Składa się z dwóch liter kraju, po czym następują dwie cyfry sprawdzające, następnie następuje ciąg do trzydziestu cyfr, które są właściwym numerem konta bankowego (BBAN). W BBAN musi znajdować się ciąg cyfr identyfikujący bank.

Jak wygląda IBAN. Zobaczmy to na przykładzie Polski:
PLkk BBBB BBBn MMMM MMMM MMMM MMMM

• pierwsze dwie cyfry to cyfry kontrolne,
• następnych 8 cyfr to identyfikator banku-oddziału (pierwsze 3-4 to nr banku, następne 3-4 to nr oddziału). Ostatnia cyfra jest wyliczana z pozostałych siedmiu,
• ostatnie 16 cyfr to numer rachunku.

Zastanawialiście się kiedyś, co się stanie, jeśli wpiszecie w przelewie zły numer konta? Czy przelew dojdzie do innej osoby, przepadnie w odmętach bankowości, czy jeszcze coś innego? Otóż nic z tych rzeczy. System IBAN został tak dobrze przemyślany, że np. zamiana dwóch cyfr miejscami wygeneruje błąd w przelewie i pieniądze nie zostaną ruszone z naszego konta. Dzieje się to wszystko, dzięki matematyce. Przyjrzyjmy się w takim razie algorytmowi sprawdzania:

Algorytm sprawdzania:

1. Weź pełen numer konta, razem z kodem kraju i bez spacji.
2. Sprawdź czy zgadza się długość numeru dla danego kraju (jeśli nie, to algorytm generuje błąd).
3. Przenieś cztery pierwsze znaki numeru na jego koniec.
4. Zamień litery w numerze konta na cyfry zamieniając A na '10', B na '11' itd.
5. Potraktuj otrzymany numer konta i podziel przez 97 (największa liczba pierwsza).
6. Jeśli reszta z dzielenia jest równa 1, to numer konta jest prawidłowy.

Numery IBAN można sprawdzić na tej stronie. Spróbuj przekształcić swój, lub wpisać losowy, żeby zobaczyć, że wygeneruje błąd.

Dlaczego nie można dzielić przez zero?

Ogromna rzesza ludzi wie, że nie wolno żadnej liczby dzielić przez zero. Problem pojawia się dopiero wtedy, gdy trzeba ten fakt wytłumaczyć. Jedni powiedzą, że wyjdzie wtedy zero, drudzy, że jeden, a jeszcze inni dadzą odpowiedź, że Pitagoras to wymyślił, żeby było trudniej.

Intuicyjnie można to wytłumaczyć w następujący sposób: 
Wyobraźmy sobie, że jest sobie kupka dziesięciu jabłek, które chcemy rozdać. Gdy podzielimy je na 5 części, to każda osoba dostanie po dwa jabłka (10/5=2), gdy na dwie części, to każdy dostanie po pięć jabłek (10/2=5). Jeśli bylibyśmy jedyną osobą, to wzięlibyśmy całą dziesiątkę (10/1=10). Co się stanie, gdy nie będzie między kogo tych jabłek podzielić? Kupka zostanie nietknięta, czyli działanie nie zostanie wykonane.

Inaczej wytłumaczenie - bardziej matematyczne:
Załóżmy, że można dzielić przez zero i to  działanie daje wyniki. Nie znamy go, więc opiszemy jako x. W takim razie 10/0=x. Pamiętajmy jednak o tym, że dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia (skoro 6/3=2, to 2*3=6). W takim razie x*0=10. Jednak dowolna liczba pomnożona prze zero da wynik zero. Dojdziemy więc do sprzeczności, gdyż 10 nie jest równe 0.

Paradoks kłamcy

Poniżej zamieszczone zostało pewne rozumowanie znane również pod nazwą Paradoksu Eubulidesa:

Cechą pewnego człowieka jest to, że zawsze kłamie. Pewnego dnia powiedział: "Mówiąc to zdanie - kłamię".
Czy wyrażając ten sąd kłamał, czy też mówił prawdę?

Analizując powyższy tekst od razu można zauważyć sprzeczność:

1. Skoro ten człowiek zawsze kłamie, to mówiąc, że w danym momencie kłamie - mówi prawdę, a więc dochodzimy do niezgodności.
2. Jeśli natomiast kłamie on, mówiąc, że zawsze kłamie, to znaczy, że czasami mówi prawdę. Tutaj również dochodzimy do sprzeczności.

Wyjaśnieniem niezgodności ujętej w powyższym paradoksie jest to, że sądy w nim ujęte orzekają o samych sobie, co sprawia, że nie można wysuwać z nich żadnych wniosków. Obrazowo można powiedzieć, że o prawdziwości zdań da wypowiadać się tylko "z zewnątrz".